(论文)[2020-SIG] Continuous Multiple Importance Sampling

CMIS

• Continuous Multiple Importance Sampling
• REX WEST, The University of Tokyo, Japan
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TLDR

• 能够处理无穷多种采样方式的 MIS，处理方式就是先采样 n 种采样技术，采样每个技术分配 1 个样本（NEE 可以理解为一种 n=2 的情况）
• 给了 3 个应用的例子
  • Path Reuse
  • Spectral Rendering
  • Volume Single Scattering

Introduction

• MIS 能结合多种采样技术
• 如何结合 uncountably infinite number (i.e., a continuum) of techniques？
  • 传统的 MIS 理论需要拓展
• 我们将 MIS 泛化到 continuous MIS (CMIS)，并给出最优结果（provably optimal balance heuristic）
• 因为最优不容易达到，给出另外一个近似：stochastic MIS (SMIS) estimator
  • 无偏的
• 有效性验证（应用）：path space filtering、spectral rendering、volume rendering with photon planes

Background and Related Work

• 积分问题，n 样本 MC 估计

$$I={\int }_{\mathcal{X}}f(x)\mathrm{d}x,⟨I{⟩}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{f(x_i)}{p(x_i)},(1)$$

• $p(x)\propto f(x)$ 则方差小
• discrete MIS (DMIS)：$T$ 种采样技术
• 把积分拆分为 $T$ 个部分

$$I={\int }_{\mathcal{X}}\underset{=1}{\underbrace{\sum _{t=1}^T{w}_t(x)}}f(x)\mathrm{d}x=\sum _{t=1}^T\underset{=I_t}{\underbrace{{\int }_{\mathcal{X}}{w}_t(x)f(x)\mathrm{d}x}}=\sum _{t=1}^T{I}_t.(2)$$

• one-sample DMIS estimator
  • $P_t$ 的概率选中积分 $I_t$

$$⟨I{⟩}_{\text{DMIS}}=\frac{⟨I_t{⟩}_1}{{\mathrm{P}}_t}=\frac{w_t(x)f(x)}{{\mathrm{P}}_t{p}_t(x)}.(3)$$

• multi-sample DMIS estimator（$n$ 样本）
  • $I_t$ 使用 $n_t={\mathrm{P}}_{t}n$ 个样本估计

$$⟨I{⟩}_{\text{MDMIS}}=\sum _{t=1}^T⟨I_t{⟩}_{n_t}=\sum _{t=1}^T\frac{1}{n_t}\sum _{i=1}^{n_t}\frac{w_t(x_{t,i})f(x_{t,i})}{p_t(x_{t,i})}.(4)$$

• $w_t(x)$ 任意选择，只需要满足
  • $\sum _{t=1}^T{w}_t(x)=1,\mathrm{\forall }f(x)\ne 0$
  • $w_t(x)=0,\mathrm{\forall }{p}_t(x)=0$
• 平衡启发式（balance heuristic）：单样本最优

$${\hat{w}}_t(x)=\frac{{\mathrm{P}}_t{p}_t(x)}{\sum _{t^{\prime }=1}^T{\mathrm{P}}_{t^{\prime }}{p}_{t^{\prime }}(x)}.(5)$$

• 现有研究
  • 研究如何分配样本
  • 提高 weighting heuristics
  • 利用 domain-specific auxiliary information
  • 考虑方差：balance heuristic with variance estimates,
  • optimize the sampling densities for balance-heuristic combination
  • 多样本的 Optimal MIS（允许权重为负的前提下找到最优 weight function）
  • stochastic technique selection

CMIS

• Continuous Multiple Importance Sampling
• DMIS 的扩展

CMIS formulation

• $\mathcal{T}$：technique space，任意 $t\in \mathcal{T}$ 都是一种采样策略
• CMIS 的形式如下，其中 ${\int }_{\mathcal{T}}w(t,x)\mathrm{d}t=1,\mathrm{\forall }x\in \mathcal{X}\wedge f(x)\ne 0$

$$I={\int }_{\mathcal{X}}\underset{=1}{\underbrace{{\int }_{\mathcal{T}}w(t,x)\mathrm{d}t}}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{\mathcal{T}}{\int }_{\mathcal{X}}w(t,x)f(x)\mathrm{d}x\mathrm{d}t.(6)$$

• 此时 one-sample MC 估计如下
  • $p(t,x)$：联合分布

$$⟨I{⟩}_{\text{CMIS}}=\frac{w(t,x)f(x)}{p(t,x)}=\frac{w(t,x)f(x)}{p(t)p(x\mid t)}.(7)$$

• 对于 $w$ 的要求：$C_1$ 和 $C_2$

$$\begin{array}{rlrl}(C_1)& {\int }_{\mathcal{T}}w(t,x)\mathrm{d}t=1,& \text{whenever }f(x)\ne 0.& (8\text{a})\\ (C_2)& w(t,x)=0,& \text{whenever }p(t,x)=0.& (8\text{b})\end{array}$$

• 对于 $f(x)\ne 0$ 的地方，至少存在一个 $t$ 使得 $p(t,x)=p(t)p(x\mid t)>0$
• 最简单的 CMIS 函数：uniform

$$w_{\text{u}}(t,x)=\frac{1}{{\int }_{\mathcal{T}}\mathrm{d}t}$$

• CMIS 版本的平衡启发式（balance heuristic），最优性证明见副录 A
  • $p(x)$ 和 $p(t)$ 的 $p$ 不是一个含义，只是都表示概率
  • 是 one-sample 最优的平衡启发式的泛化形式

$$\overline{w}(t,x)=\frac{p(t)p(x|t)}{{\int }_{\mathcal{T}}p(t^{\prime })p(x|t^{\prime })\mathrm{d}{t}^{\prime }}=\frac{p(t,x)}{{\int }_{\mathcal{T}}p(t^{\prime },x)\mathrm{d}{t}^{\prime }}=\frac{p(t,x)}{p(x)}.(9)$$

• 类似的，这也相当于用 $p(x)$ 对整体进行采样（和 DMIS 相同）

$$⟨I{⟩}_{\mathrm{CMIS}}=\frac{\overline{w}(t,x)f(x)}{p(t,x)}=\frac{\cancel{p(t,x)}f(x)}{p(x)\cancel{p(t,x)}}=\frac{f(x)}{p(x)}.(10)$$

讨论

• 前人的工作：无穷但是可数 ${\mathrm{\aleph }}_0$，本文允许任意维度 ${\mathrm{\aleph }}_1,\cdots$
  • 【2019-SIG】Photon surfaces for robust, unbiased volumetric density estimation.
• 将不可数转化为可数
  • $\mathcal{T}$ 离散化，只选取其中若干技术
  • 让 $p(t,x)$ 分段常数
  • multi-samples：直接操作不现实（不可数无穷样本），对每个技术 $t$ 自身平均（$/n(t)$）

SMIS formulation

• stochastic MIS (SMIS) estimator
• 式子 10 的分母部分可能并没有闭式解（大部分情况下）
  • 策略：需要构建 $1/p(x)$ 的无偏估计（倒数的无偏估计）
    • 这段话啥意思？？？
    • However, this method requires special care when $p(x)>1$, which is generally the case as $p(x)$ is a probability density
• 论文给出更简单的估计：初始有偏 -> 转变成无偏
• 采样 $n$ 个样本对 $(t_i,x_i)$ 用于估计 $p(x)$，使用式子 9 的平衡启发式
  • 此时，估计是有偏的（$p(x)$ 的无偏估计并不是 $1/p(x)$ 的无偏估计）

$$\begin{array}{rl}& \underset{n\text{-sampleCMIS}}{\underbrace{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{p(t_i,x_i)}{{\int }_{\mathcal{T}}p(t,x_i)\mathrm{d}t}\cdot \frac{f(x_i)}{p(t_i,x_i)}}}\\ \approx & \underset{n\text{-sampleSMIS approximation}}{\underbrace{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{p(t_i,x_i)}{\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n\frac{p(t_j,x_i)}{p(t_j)}}\cdot \frac{f(x_i)}{p(t_i,x_i)}}}\end{array}(11)$$

• 条件概率展开：$p(t_i,x_i)=p(t_i)p(x_i\mid t_i)$

$$⟨I{⟩}_{\mathrm{SMIS}}=\sum _{i=1}^n\frac{\dot{w}(t_i,x_i)f(x_i)}{p(x_i|t_i)}=\sum _{i=1}^n\frac{f(x_i)}{\sum _{j=1}^{n}p(x_i|t_j)},(12)$$

$$\dot{w}(t_i,x)=\frac{p(x|t_i)}{\sum _{j=1}^{n}p(x|t_j)}$$

• $⟨I{⟩}_{\mathrm{SMIS}}$ 是 $⟨I{⟩}_{\text{CMIS}}$ 的有偏估计，但是 $⟨I{⟩}_{\mathrm{SMIS}}$ 是 $I$ 的无偏估计
  • 核心关键：计算 MIS 的时候只使用了采样得到的 $n$ 种采样技术，没有管剩余的其他技术
  • 在 Proxy Tracing 文章中，考虑了所有的剩余技术
  • 整个采样逻辑变成了：先采样 $n$ 种技术，然后每种技术采样一个样本
  • 无偏性证明
• 和 DMIS 的区别，使用的技术是先从 $\mathcal{T}$ 中采样得到的，而不是固定的
  • 可以理解为 random DMIS-discretization
• SMIS 的方式有了近似，不再是原始的 balance heuristic，因此不再有方差最小的性质
• $n^2$ 次 pdf 计算过于复杂，解析解近似（应用 3）
• SMIS 同时兼容了有限、可数情况种采样技术

方差分析

• 没有理论分析，而是进行了实验验证
• 限定：一共采样 $N$ 个样本
• 含义
  • ${\text{SMIS}}_n$ 表示使用 $n$ 种技术的 SMIS，$N/n$ 次实现
  • ${\text{CMIS}}_{\text{b}}$：balance heuristic 的 CMIS
  • ${\text{CMIS}}_{\text{u}}$：均匀采样的 CMIS，$w_{\text{u}}(t,x)=1/{\int }_{\mathcal{T}}\mathrm{d}t$
• 实验：第一行为分布，下面两行为不同的 $f(x)$ 对应的方差
  • $p(x),p(t)$ 都是边缘分布

• 图 (b)
  • $p(t)=\text{const}$
  • 结果都一样
• 图 (c)
  • $p(x)$ 相同、$p(x\mid t)=F(x)$：与 $t$ 无关
  • 除了 ${\text{CMIS}}_{\text{u}}$ 最差，其他都一样（处理 $p(t)$ 的方式相同）
• 图 (d)
  • $p(t)$ 正弦，$p(x)$ 均匀到线性（程度不同）
  • ${\text{CMIS}}_{\text{u}}$ 最差，${\text{CMIS}}_{\text{b}}$ 最好，${\text{SMIS}}_{\text{b}}$ 中 $b$ 越大越好
    • ${\text{CMIS}}_{\text{u}}<{\text{SMIS}}_{\text{b}}<{\text{CMIS}}_{\text{b}}$
• 图 (e)
  • 边缘分布是均匀的，但是 $p(x\mid x)$ 不是均匀的
  • ${\text{CMIS}}_{\text{u}}={\text{SMIS}}_{\text{1}}<{\text{SMIS}}_{\text{b}}<{\text{CMIS}}_{\text{b}}$
• 结果：上面 $\star$ 图的结果

• 在这里，我们是可以计算 ${\text{CMIS}}_{\text{b}}$（式子 9）分母中的积分部分的，因此可以实现 ${\text{CMIS}}_{\text{b}}$
• 最高效率的 SMIS，总采样数（如下）与方差的 trade-off
  • ${\text{SMIS}}_{\text{n}}$：${\displaystyle \frac{n}{n}}\times n^2=n^2$
  • ${\text{SMIS}}_{\text{n/2}}$：${\displaystyle \frac{n}{n/2}}\times {\left({\displaystyle \frac{n}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{n^2}{2}}$

应用1：Path Reuse

• reusing (sub)paths across multiple pixel estimations
• 之前的工作
  • Path and (ir)radiance filtering methods：灵活但是引入了 bias

problem statement

• 像素积分
  • eye subpath 贡献 $f_{\text{e}}$，prefix subpaths $\bar{\mathbf{y}}$
  • light subpath 贡献 $f_{\text{l}}$， suffix subpaths $\bar{\mathbf{z}}$
  • 路径 $\bar{\mathbf{x}}={\mathbf{x}}_1{\mathbf{x}}_2\cdots \in \mathcal{P}={\mathcal{M}}^{\mathrm{\infty }}$ （路径空间）
  • $\bar{\mathbf{x}}=\overline{\mathbf{yz}}$，我们认为 $\mathcal{P}\times \mathcal{P}={\mathcal{M}}^{\mathrm{\infty }}$（因为路径长度有限）

$$I={\int }_{\mathcal{P}}f(\bar{\mathbf{x}})\mathrm{d}\bar{\mathbf{x}}={\int }_{\mathcal{P}}{f}_{\mathrm{e}}(\bar{\mathbf{y}})\underset{I(\bar{\mathbf{y}})}{\underbrace{{\int }_{\mathcal{P}}{f}_{\mathrm{l}}(\bar{\mathbf{y}},\bar{\mathbf{z}})\mathrm{d}\bar{\mathbf{z}}}}\mathrm{d}\bar{\mathbf{y}}={\int }_{\mathcal{P}}{f}_{\mathrm{e}}(\bar{\mathbf{y}})I(\bar{\mathbf{y}})\mathrm{d}\bar{\mathbf{y}},(13)$$

• 需要求 $I(\bar{\mathbf{y}})$ 的一个无偏估计

$$⟨I⟩=\frac{f_{\mathbf{e}}(\bar{\mathbf{y}})}{p(\bar{\mathbf{y}})}⟨I(\bar{\mathbf{y}}){⟩}_n=\frac{f_{\mathbf{e}}(\bar{\mathbf{y}})}{p(\bar{\mathbf{y}})}\sum _{i=1}^{n}w(\bar{\mathbf{y}},{\bar{\mathbf{z}}}_i)\frac{f_{\mathbf{l}}(\bar{\mathbf{y}},{\bar{\mathbf{z}}}_i)}{p({\bar{\mathbf{z}}}_i)},(14)$$

• splitting：$p({\bar{\mathbf{z}}}_i)=p({\bar{\mathbf{z}}}_i\mid \bar{\mathbf{y}}),w={\displaystyle \frac{1}{n}}$
  • 效率低：${\bar{\mathrm{z}}}_i$ 关于 $\bar{\mathrm{y}}$ 是特异化的（不同的 $\bar{\mathrm{y}}$ 不同）
• 直接连接其他的未分裂路径（下图所示），后缀路径的开销被摊销了，如何计算？
  • 现有策略：所有像素得到的后作 DMIS；直接核函数收集末端附近的后缀路径（biased）

CMIS formulation

• $\bar{\mathbf{y}}$ 作为 technique， ${\bar{\mathbf{z}}}_i$ 作为样本

$$I(\bar{\mathbf{y}})={\int }_{\mathcal{P}}\underset{=1}{\underbrace{{\int }_{\mathcal{T}}w({\bar{\mathbf{y}}}^{\prime },\bar{\mathbf{z}})\mathrm{d}{\bar{\mathbf{y}}}^{\prime }}}{f}_1(\bar{\mathbf{y}},\bar{\mathbf{z}})\mathrm{d}\bar{\mathbf{z}}={\int }_{\mathcal{T}}{\int }_{\mathcal{P}}w({\bar{\mathbf{y}}}^{\prime },\bar{\mathbf{z}})f_1(\bar{\mathbf{y}},\bar{\mathbf{z}})\mathrm{d}\bar{\mathbf{z}}\mathrm{d}{\bar{\mathbf{y}}}^{\prime },(15)$$

• 和之前的 CMIS 部分类似，我们可以构建 CMIS、SMIS 估计子

算法

• Practical path-space filtering algorithm
• ${\text{SMIS}}_{\text{n}}$ 需要 $n^2$ 次可见性测试，$\sum$ 中有 $n\times$，$w$ 求解需要 $n$ 次
• 加速：限制 $\mathcal{T}$ 的范围在原始前缀路径末端顶点附近
• biased 近似：认为一直可见，认为光子路末端顶点的 BSDF 不变
  • 近似原因：都在原始前缀末端顶点的附近
  • 不用可见性测试，同时不需要重新计算 BSDF 函数

实现

• two-stage algorithm
• 1：1spp 路径，然后将他们的顶点保存在 hashed spatial grid 中
• 2：对于每一个 $\bar{\mathbf{y}}$，我们搜集其末端顶点周围的顶点构成技术 $\mathcal{T}$，构建 SMIS 估计
  • 采样 ${\bar{\mathbf{y}}}_i\in \mathcal{T}$，然后将将 $\bar{\mathbf{y}}$ 和 ${\bar{\mathbf{z}}}_i$ 连接，进行估计计算
• 搜索半径：6spp in screen space（换算）
  • 随着时间进行减小
• 评估：SMAPE（symmetric mean absolute percentage error）
  • reference and estimated value

$$E=\frac{1}{P}\sum _{i=1}^P\frac{|r_i-e_i|}{|r_i|+|e_i|}$$

• 对比：同时间、同样本都有
  • Path Space Filtering（Keller 2014）
• 相关性问题

应用2：Spectral Rendering

$$I={\int }_{\mathcal{P}}{\int }_{\mathrm{\Lambda }}f(\bar{\mathbf{x}},\lambda )\mathrm{d}\lambda \mathrm{d}\bar{\mathbf{x}}={\int }_{\mathcal{S}}f(\bar{\mathbf{s}})\mathrm{d}\bar{\mathbf{s}},$$

• Wilkie 2014：Hero Wavelength Spectral Sampling
  • 每条路径携带多个波长，每次选择一个波长作为 ${\lambda }_h$（hero wavelength），生成散射光线
    • 多个波长是等间隔分布（如图 7）
  • 为什么可以这么做：大多数路径都和波长无关
    • 遇到 spectral power distributions（SPDs）时，能量集中在特定波长位置，效果不好，例如荧光灯

$$⟨I{⟩}_{\text{HeroMIS}}=\sum _{i=1}^n\frac{f(\bar{\mathbf{x}},{\lambda }_i)}{\sum _{j=1}^{n}p({\lambda }_j)p(\bar{\mathbf{x}}|{\lambda }_j)}.(19)$$

CMIS formulation

$$I={\int }_{\mathcal{S}}\underset{=1}{\underbrace{{\int }_{T}w(\xi ,\bar{\mathbf{s}})\mathrm{d}\xi }}f(\bar{\mathbf{s}})\mathrm{d}\bar{\mathbf{s}},$$

• 采样的时候，要求路径重用：${\bar{\mathbf{s}}}_i=\{\bar{\mathbf{x}},{\lambda }_i\}$，和 Hero 的区别在于我们在波长选择上更自由
  • 这不就是一个重要性采样吗

实现

• 图片：RGB -> sRGB -> spectral
  • CIE 1931 standard observer chromatic response curves
  • 2019 Jakob
• 实现

$$p(\bar{\mathbf{s}}|\xi )=p(\bar{\mathbf{x}},\lambda )=p(\lambda )p(\bar{\mathbf{x}}|\lambda )$$

• $p(\lambda )$：正比于如下两个量的乘积，然后使用分层的模式进行采样
  • the observer response
  • a mixture of the scenes’ light-source SPDs
• 分层：We use a stratified sample pattern that is warped according to that PDF
  • 好像没仔细说？
• 对比算法：除了 uniform 都使用 $p(\lambda )$，不说明都采样 4 个波长
  • $\text{SMIS}$（论文）、${\text{SMIS}}_{\text{i}}$（不分层）、brute-force（$\text{CMIS}$，直接对 512 个波长进行计算）
  • HeroMIS（$p(\lambda )$ 采样主波长）
  • 只采样一个波长：Uniform（均匀采样波长）、SpectralIS
• 感觉提升就是：重要性采样好于普通采样

应用3：Volume Single Scattering（没看懂）

• volumetric light transport simulation

Problem statement

• Deng 2019 提出了 photon planes，用于求解矩形光源、单次散射的的体渲染
• phone plane：给定光源上的线段 $e$，采样出射方向 ${\omega }_l$

• A primary ray shot from the camera gathers contribution from a given photon plane if it intersects it.
• 线段：$e=(u,\alpha )\in \mathbb{R}\times [0,\pi ]$
• 采样技术：$\mathcal{T}$ 就是采样 $e$
  • 问题：ray 和 photon plane 平行？此时需要 MIS 考虑所有可能性

$$⟨I{⟩}_e=\frac{f(\bar{\mathbf{x}})}{p(\bar{\mathbf{x}}|e)}.(22)$$

CMIS Formulation

$$I={\int }_{\mathcal{P}}f(\bar{\mathbf{x}})\mathrm{d}\bar{\mathbf{x}}={\int }_{\mathcal{T}}{\int }_{\mathcal{P}}w(e,\bar{\mathbf{x}})f(\bar{\mathbf{x}})\mathrm{d}\bar{\mathbf{x}}\mathrm{d}e,(23)$$

• CMIS

$$⟨I{⟩}_{\text{CMIS}}=\frac{\overline{w}(e,\bar{\mathbf{x}})f(\bar{\mathbf{x}})}{p(e,\bar{\mathbf{x}})},\text{with}\overline{w}(e,\bar{\mathbf{x}})=\frac{p(e,\bar{\mathbf{x}})}{{\int }_{\mathcal{T}}p(e^{\prime },\bar{\mathbf{x}})\mathrm{d}{e}^{\prime }}.(24)$$

• 这里往后就都不是太懂了？主要不太懂流程？得看看 Deng2019 的论文
• 式子转换：式子 25
  • $p(e)=C$ ，是常数，均匀采样？

$$p(e,\bar{\mathbf{x}})=p(e)\cdot p(\bar{\mathbf{x}}|e)=C\cdot p(\bar{\mathbf{x}})\underset{J(e,\bar{\mathbf{x}})}{\underbrace{|(e\times {\omega }_1)\cdot {\omega }_{\mathrm{e}}|}}$$

• 假设：the photon plane width does not change with orientation
  • $\Vert e\Vert$ 相同，$\mathbf{u},\mathbf{v}$ 对光源边长归一化

• SMIS：不近似 $J$，而是先采样若干技术

副录

平衡启发式最优

• 证明和离散类似
• 首先推导方差形式如下

$$\begin{array}{rlr}\mathbb{V}[⟨I{⟩}_{\text{CMIS}}]& =\mathbb{E}[⟨I{⟩}_{\text{CMIS}}^2]-\mathbb{E}[⟨I{⟩}_{\text{CMIS}}{]}^2& (28\mathrm{a})\\ & ={\int }_{\mathcal{X}}{\int }_{\mathcal{T}}\frac{w^2(t,x)f^2(x)}{p(t,x)}\mathrm{d}t\mathrm{d}x-I^2.& (28\mathrm{b})\end{array}$$

• 找到 $w$ 最小化方差，就是最小化如下式子
  • 第一个等号：外层与 $w$ 无关
  • 第二个等号：积分与 $f(x)$ 无关

$$\overline{w}=\underset{w}{\mathrm{argmin}}[{\int }_{\mathcal{T}}\frac{w^2(t,x)f^2(x)}{p(t,x)}\mathrm{d}t]=\underset{w}{\mathrm{argmin}}[{\int }_{\mathcal{T}}\frac{w^2(t,x)}{p(t,x)}\mathrm{d}t],(29)$$

证明

• 带约束的优化问题（chatgpt）

$$\underset{w}{\mathrm{argmin}}\left[{\int }_{\mathcal{T}}\frac{w^2(t)}{p(t)}\mathrm{d}t\right]$$

• 约束条件

$${\int }_{\mathcal{T}}w(t)\mathrm{d}t=1$$

引入拉格朗日乘子法

• 首先定义拉格朗日函数如下，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘子

$$\mathcal{L}[w,\lambda ]={\int }_{\mathcal{T}}\frac{w^2(t)}{p(t)}\mathrm{d}t+\lambda ({\int }_{\mathcal{T}}w(t)\mathrm{d}t-1)$$

计算拉格朗日函数的变分

• 引入扰动函数 $(t)$，并考虑 $w(t)$ 的变分

$$w(t)\to w(t)+ϵ\eta (t)$$

• 拉格朗日函数的变分为

$$\mathcal{L}[w+ϵ\eta ,\lambda ]={\int }_{\mathcal{T}}\frac{(w(t)+ϵ\eta (t){)}^2}{p(t)}\mathrm{d}t+\lambda ({\int }_{\mathcal{T}}(w(t)+ϵ\eta (t))\mathrm{d}t-1)$$

• 展开并计算一阶条件

$$\mathcal{L}[w+ϵ\eta ,\lambda ]={\int }_{\mathcal{T}}(\frac{w^2(t)}{p(t)}+\frac{2ϵw(t)\eta (t)}{p(t)}+\frac{{ϵ}^2{\eta }^2(t)}{p(t)})\mathrm{d}t+\lambda ({\int }_{\mathcal{T}}w(t)\mathrm{d}t-1)+ϵ\lambda {\int }_{\mathcal{T}}\eta (t)\mathrm{d}t$$

• 忽略二阶小量 ${ϵ}^2$ 项，得到

$$\mathcal{L}[w+ϵ\eta ,\lambda ]\approx {\int }_{\mathcal{T}}\frac{w^2(t)}{p(t)}\mathrm{d}t+ϵ{\int }_{\mathcal{T}}\frac{2w(t)\eta (t)}{p(t)}\mathrm{d}t+\lambda ({\int }_{\mathcal{T}}w(t)\mathrm{d}t-1)+ϵ\lambda {\int }_{\mathcal{T}}\eta (t)\mathrm{d}t$$

• 要求该函数在 $ϵ=0$ 处的一阶导数为零

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}ϵ}\mathcal{L}[w+ϵ\eta ,\lambda ]{|}_{ϵ=0}={\int }_{\mathcal{T}}\frac{2w(t)\eta (t)}{p(t)}\mathrm{d}t+\lambda {\int }_{\mathcal{T}}\eta (t)\mathrm{d}t=0$$

消去扰动函数

• 由于 $\eta (t)$ 是任意函数，这意味着系数必须为零

$$\frac{2w(t)}{p(t)}+\lambda =0$$

• 因此，我们得到

$$w(t)=-\frac{\lambda p(t)}{2}$$

确定拉格朗日乘子

• 利用约束条件 ${\int }_{\mathcal{T}}w(t)\mathrm{d}t=1$，我们可以求解 $\lambda$：

$${\int }_{\mathcal{T}}-\frac{\lambda p(t)}{2}\mathrm{d}t=1⟹\lambda =-\frac{2}{{\int }_{\mathcal{T}}p(t)\mathrm{d}t}$$

得到最优解

$$\boxed{{\displaystyle w(t)=\frac{p(t)}{{\int }_{\mathcal{T}}p(t)\mathrm{d}t}}}$$

SMIS 无偏性

• 整个采样逻辑变成了：先采样 $n$ 种技术，然后每种技术采样一个样本
  • NEE 类似，确定两种（$n=2$）技术，然后各分配一个样本
• 更像是：$p(t_i)\cdot \frac{1}{n}\cdot p(x_i\mid t_i)$

$$\begin{array}{rlr}\mathbb{E}[⟨I{⟩}_{\mathrm{SMIS}}]& =\mathbb{E}[⟨I{⟩}_{\mathrm{SMIS}}{]}_{(t_1,x_1),...,(t_n,x_n)}& \text{(33a)}\\ & =\mathbb{E}[\mathbb{E}[⟨I{⟩}_{\text{SMIS}}{]}_{x_1,...,x_n}{]}_{t_1,...,t_n}& \text{(33b)}\\ & =\mathbb{E}{\left[\mathbb{E}{[\sum _{i=1}^n\dot{w}(x_i,t_i)\frac{f(x_i)}{p(x_i|t_i)}]}_{x_1,...,x_n}\right]}_{t_1,...,t_n}& \text{(33c)}\\ & =\mathbb{E}{\left[\underset{=\sum _{i=1}^n{I}_{t_i}=I}{\underbrace{\sum _{i=1}^n{\int }_{\mathcal{X}}\dot{w}(x,t_i)\frac{f(x)}{\cancel{p(x|t_i)}}\cancel{p(x|t_i)}\mathrm{d}x}}\right]}_{t_1,...,t_n}=I& \text{(33d)}\end{array}$$