(论文)[2023] 基于子空间的双向路径连接渲染技术(5)

基于子空间的双向路径连接渲染技术(5)

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代理追踪技术

处理镜面连接

• 视子路末端顶点在漫反射表面上，光子路 $\overline{y}=y_0\cdots y_{s-1}$ 末端顶点 $y_{s-1}$ 在光滑表面上
• 固定视子路，重新采样光子路
• 目的：让光滑表面的 BSDF 表现正常
• 固定 $y_{s-1}$ 重新采样 $y_{s-2}$ 使得 $y_{s-1}$ 的 BSDF 表现正常
  • 如果 $y_{s-2}$ 也是光滑表面，则也需要重追踪采样 $y_{s-2}$
  • 也就是说如果 $\overline{y}$ 末端有 $u$ 个连续的光滑顶点，则需要重新采样 $y_{s-2}\cdots y_{s-u-1}$
• 采样过程：
  • 反向追踪
  • 先根据 $z_{t-1}\to y_{s-1}$ 重追踪 $y_{s-2}$
  • 如果还有光滑顶点，则继续（$y_{s-1}\to y_{s-2}$ 重追踪 $y_{s-3}$，以此类推），否则停止
• 材质不变
  • 保证重追踪的顶点材质和之前相同
  • 这样可以让一条路径对应的残缺路径被唯一确定，简化 PDF 计算
  • 不加限制：$\text{LDSDE}$ 的路径可能被 $\text{LSSDE}$ 的路径重追踪得到

路径划分

• 残缺路径 $\overline{h}$ 包含完整视子路 $\overline{z}$、残缺光子路 ${\overline{h}}_y$
• 光子路 $\overline{y}$ 如下

• 重追踪 $\overline{g}$ 中顶点
• 残缺路径的 PDF

$$p(\overline{h})=p({\overline{h}}_y)p(\overline{z})$$

• 一条完整的光子路 $\overline{y}$ 的生成过程，概率如下

$$p(\overline{y})=p({\overline{h}}^{\ast })\cdot p(\overline{g}\mid {\omega }_c,h_c)\cdot p(y_{s-1}\mid h_c,\overline{g})$$

• 只需要通过倒数评估估计 $p({\overline{h}}_y)$
  • 概率为所有能够生成 ${\overline{h}}_y$ 的完整光子路的概率
  • $R$ 表示修复操作，$R({\overline{h}}_y,\overline{g})$ 就是完整路径

$$\begin{array}{rl}p({\overline{h}}_y)& ={\int }_{A^u}p\left[R({\overline{h}}_y,\overline{g})\right]\mathrm{d}\mu (\overline{g})\\ & ={\int }_{A^u}p\left({\overline{h}}^{\ast }\right)\cdot p(\overline{g}\mid {\omega }_c,h_c)\cdot p(y_{s-1}\mid h_c,\overline{g})\mathrm{d}\mu (\overline{g})\\ & =p\left({\overline{h}}^{\ast }\right){\int }_{A^u}p(\overline{g}\mid {\omega }_c,h_c)\cdot p(y_{s-1}\mid h_c,\overline{g})\mathrm{d}\mu (\overline{g})\\ & =p\left({\overline{h}}^{\ast }\right)\mathcal{P}(u,h_c,y_{s-1},{\omega }_c)\end{array}$$

• $\mathcal{P}$ 只取决于如下几个变量
  • 控制顶点 $h_c$
  • 镜面点 $y_{s-1}$
  • 控制方向 ${\omega }_c$
  • 连续光滑顶点的个数 $u$
• 如果 $\overline{g}$ 包含 $y_0,y_1$，则 $h_c,{\omega }_c$ 不存在
• 注意：这几个变量在光子路追踪时可以获取到，因此可以在光子路追踪时进行倒数评估，减小开销

不同路径的处理

• 无偏估计 ${\displaystyle \frac{1}{\mathcal{P}}}$ 时，需要有一个辅助分布 $q(\overline{g})$
• $q(\overline{g})$ 可行策略集中的均匀混合
  • 例如：$u=1\wedge y_0\in \overline{g}$ $\Rightarrow$​ 光源采样 + 从镜面点出发追踪

光源采样

• $u=1\wedge y_0\in \overline{g}$
  • 随机在光源表面采样
• $u>1$ 时不使用，固定 $y_{s-1}$ + 随机采样 $y_0$ 无法找到镜面约束的中间顶点
  • 概率为 0

从控制顶点出发追踪

• $u=1\wedge y_0\notin \overline{g}$
  • $h_c=y_0$：光源所处的半球空间中 $\cos$ 均匀采样
  • $h_c\ne y_0$：根据 ${\omega }_c,h_c$ 进行 BSDF 重要性采样
• $u>1$ 时不使用，理由同上

从镜面点出发追踪

• 该策略都可用
• 流程
  • 从 $y_{s-1}$ 的半球空间中采样初始方向，得到 $y_{s-2}$
  • 接着根据 $y_{s-1}\to y_{s-2}$ 方向根据 $y_{s-2}$ 的 BSDF 进行采样
  • 知道采样 $\overline{g}$ 完成后停止

子空间统计量

• 统计量无法在一次评估中获取
  • 优化倒数评估过程需要用到 ${\displaystyle \frac{p(\overline{h})}{q(\overline{h})}}$
    • 参数 $B$
  • MIS 权重需要用到倒数评估的期望
• 使用子空间作为倒数评估的媒介
• 预追踪一部分镜面投射光路 ，取 $h_c,{\omega }_c$ 为样本建立控制子空间，取 $y_{s-1}$ 为样本建立镜面子空间
  • 控制子空间：$(h_c,{\omega }_c)\to$ 控制子空间编号 $C$
    • $C$ 为
  • 镜面子空间：$y_{s-1}\to$ 镜面子空间编号 $S$
• 于是 $\mathcal{P}$ 的一个三维矩阵近似如下

$$\mathcal{P}(u,h_c,y_{s-1},{\omega }_c)\approx \mathcal{P}(u,C,S)$$

• 注意：这个近似只会用于对 $B$ 和 MIS 权重的评估，而不作为倒数评估的结果

与子空间概率连接的结合

• 代理追踪方法能够实现对镜面投射光路的高效采样
• 可以使用 SPCBPT 的思想，为光子路残缺路径建立子空间，改善光子路残缺路径的选取

细节

• 重采样
  • SPCBPT 中光子路的局部贡献值 $f_y$ 会被用于重采样，但是残缺路径 $\overline{g}$ 的局部贡献值不可知，需要与视路径连接并以重追踪构筑完整光路之后才能够得到
  • 因此对于残缺光路的重采样就是直接在子空间内部均匀采样
• 存储
  • 重追踪后镜面点的入射方向不可知，残缺子路径直接根据镜面子空间 ID 进行子空间存储
• PDF 评估
  • 倒数估算难以给出准确的 PDF 评估，采样子空间时不在追求全局最优，而是考虑光照能量在子空间之间的流通情况
  • $\mathrm{\Gamma }[T,S]\propto$ 视子空间 $T$ 中的视子路 $\overline{z}$ 和镜面子空间 $S$ 中的残缺光子路 ${\overline{h}}_y$ 的链接在冲追踪之后得到的完整路径的贡献值的期望

SPCBPT & Proxy Tracing

• 代理追踪和子空间概率连接天然地就能得到良好的结合，我们使用代理追踪处理那些镜面投射光路，而使用SPCBPT 来处理那些一般的路径
• 代理路径追踪能够补全 SPCBPT 的短板