GAMES103.王华民.11.Incompressible Fluid Dynamics and Eulerian Fluids(2)

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Navier-Stokes 方程与求解、烟雾与水的效果模拟

Navier-Stokes 方程

  • Low-speed, Incompressible, Viscous Navier Stokes’ equations
    • 低速、不可压缩、带有粘滞性的流体

NS 方程

  • 流体速度场的更新：NS 方程
  • 不可压缩条件（Incompressibility）

\[ \nabla\cdot\mathbf{u}=0 \]

  • 动量（Momentum）

  • 如何求解上述偏微分方程？
    • Method of Characteristics：拆分 PDE 的不同部分，分步求解

求解 NS 方程

S1-External Acceleration

  • 在这里我们先假设外部加速度只有重力加速度

\[ \dfrac{\partial{\mathbf{u}}}{\partial{t}}=\mathbf{g} \]

  • 对所有的墙更新 \(u,v\)

\[ v_{i,j}^{new}\leftarrow v_{i,j}+\Delta tg \]

S2-Advection

\[ \dfrac{\partial{\mathbf{u}}}{\partial{t}}=-(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} \]

  • 展开如下

\[ (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}= \begin{pmatrix} u\cdot\dfrac{\partial{u}}{\partial{x}} + v\cdot\dfrac{\partial{u}}{\partial{y}}\\ u\cdot\dfrac{\partial{v}}{\partial{x}} + v\cdot\dfrac{\partial{v}}{\partial{y}}\\ \end{pmatrix} \]

  • 求解方式1：计算得到右边的值，然后类似于 S1 的方式求解
    • 不稳定
    • 原因：当时间步长 \(\Delta t\) 比较大的时候，估算得到的一阶导数不准确

advection

  • 由于水分子的流动，\(t\) 时刻网格内的水分子不再是 \(t-\Delta t\) 时刻的水分子，因此需要用新的水分子的速度替换掉原来的速度
  • 如上图所示，\(\mathbf{x}_1\) 位置的水分子是上一时刻在 \(\mathbf{x}_0\) 位置的水分子，因此需要使用 \(\mathbf{x}_0\) 位置水分子的速度 \(\mathbf{u}(\mathbf{x}_1)\) 替换掉 \(\mathbf{u}(\mathbf{x}_1)\)
  • 拉格朗日方法没有这个问题，因为本身就是定义在粒子上的，这一时刻的粒子和上一时刻的粒子是同一个

Semi-Lagrangion Method

  • 半拉格朗日方法
  • 思路：对于一个点 \(\mathbf{x}_0\)，推断上一个时刻这个点的位置 \(\mathbf{x}_1\)，然后用 \(\mathbf{x}_1\) 的速度替换掉即可
    • 下面的 comupte 就是利用双线性插值计算

  • 对于交错网格，\(u,v\) 分开计算
  • 细分：小步长精度更高
    • 数值方法

  • 边界问题：倒推之后发现在边界怎么办？
    • clamp，不让它越界
  • 是个稳定的方法，但是大的步长会有误差
    • 误差表现为模糊（源自插值）

S3-Diffusion

\[ \dfrac{\partial{\mathbf{u}}}{\partial{t}}=\mu\Delta\mathbf{u} \]

  • 分别对 \(u,v\) 做拉普拉斯平滑

  • 大步长可能会不稳定（\(v\Delta t\) 太大）
  • 使用小步长计算

  • 可以使用隐式积分来做
    • 比较复杂，利用小步长也能做出类似效果

S4-Pressure Projection

  • 利用压强进行更新

\[ \dfrac{\partial{\mathbf{u}}}{\partial{t}}=-\nabla\mathbf{p} \]

  • 压强定义在网格中心，因此表达起来很方便

压强

  • 如何计算/更新 \(\mathbf{p}\)
  • 压强产生的原因：流体是不可压缩的
  • 因此从散度为 0 开始推导（\(\Delta\mathbf{u}^{new}=0\)）

  • 因此得到方程组，把所有的方程组联立求解线性系统
  • 边界条件
    • Dirichlet boundary (open) \(p_{i-1,j}=P\)
    • Neumann boundary (close) \(p_{i-1,j}=p_{i,j}\)
      • 真实的墙
  • 求解得到 \(p\) 之后便能够计算得到速度 \(u,v\)
  • pressure projection
    • 利用压强对速度进行投影，使得更新之后的速度满足不可压缩的条件

参考实现

  • Jos Stam. 1999. Stable Fluids. TOG (SIGGRAPH).

Air and Smoke

烟雾模拟

  • 烟雾模拟的两个步骤
    • Step 1：更新速度
    • Step 2：更新其他物理量
      • 烟雾：颜色、密度
      • 可以利用 Semi-Lagrangian 的方法更新，理解和 advection 类似，这些物理量都是会被例子带着走的，因此可以通过找到之前的位置，使这个位置的物理量进行更新
  • 边界
    • 开放空间：Dirichlet boundaries
    • 密闭空间（container）：Neumann boundaries

水的模拟

  • 水的模拟比较复杂
  • 水是有形状的，我们实际上模拟的是水和空气的表面，但是我们实际上只会模拟水而不是一起模拟水和空气
  • 水在整个过程中并不会占满整个空间，只会占据一部分空间，如何表达部分空间的占用？
  • 水有自己一套表达的方式

表达方式

  • Volume-of-fluid（VoF）：体积的表达方式
    • 划分为小格子，然后告诉你这个格子中被液体占据的百分比
    • 不精准
  • SDF：有向距离场
    • 保存到水面的距离

更新方式

  • Semi-Lagrangian
  • Level set：对距离函数进行更新的一种方法
  • 问题：volume loss issue
    • 上面两种方法在模拟过程中水的体积会发生改变，因此需要修正

导出数据

  • 如何将得到的体数据导出为 mesh 用于渲染
    • marching cube

实现

流体仿真书籍

  • Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces.
    • Osher and Fedkiw.