(论文)[2021] A Survey on Bounding Volume Hierarchies for Ray Tracing(1)

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关于层次包围盒的一篇 survey（层次包围盒介绍、代价函数）

BVH Survey

1. introduction

  • 加速光追方式
    • efficient sampling techniques
    • denoising methods
    • an efficient spatial data structure
  • BVH
    • Bounding Volume Hierarchy
    • 层次包围盒
  • 问题：给定一条光线，找到它和场景原体最近的交点
  • 光在均匀介质中沿直线传播

2. preliminaries

  • 前置知识
  • 问题：给定一条光线，找到它和场景原体最近的交点
    • 光线：\(\mathbf{o}+t\mathbf{d}\)
  • 暴力方法：求出光线和场景中所有原体的交点，取最近的
    • 时间复杂度：\(O(n)\)

BVH

  • k叉有根树
    • 叶子节点指向场景中的原体，是包含的原体的包围盒
    • 父节点是子结点的包围盒
    • 根节点是场景中所有原体的包围盒
  • 基于这样一个事实
    • 光线和父节点不相交，那么一定和子节点不相交
  • 包围盒
    • AABB：axis-aligned bounding boxes
    • OBB：oriented bounding boxes
    • bounding spheres
  • 渲染中，场景几何原体一般是 3D 的

BVH 的优点

Predictable memory footprint
  • 空间复杂度近似是叶子节点数目的 \(2\) 倍
  • 满 \(k\) 叉树总节点 \(N\) 和叶子节点数 \(n\) 有如下关系

\[ N=n+\dfrac{n-1}{k-1}\le 2n-1 \]

Robust and efficient query
  • 平均时间复杂度是在 \(\log(N)\) 级别的
  • 大多数情况下性能能够和 KD-tree 差不多
    • VINKLER M., HAVRAN V., BITTNER J.: Performance Comparison of Bounding Volume Hierarchies and Kd-Trees for GPU Ray Tracing. Computer Graphics Forum (2016)
Scalable construction
  • 有很多现成的方法
  • 快速建立 \(\longrightarrow\) 高度优化：trade-off
    • construction speed
    • BVH quality
      • MRays/s
  • 实时渲染中，由于时间的限制，只允许投射少量的光线，只能够建立中等质量的 BVH（够了）
  • 离线渲染倾向于建立高度优化的 BVH
  • 如下图
    • 斜率表示质量，截距表示建立的时间开销

Dynamic geometry
  • 通过动态调整 BVH 节点实现，传统的 KD-tree 是实现不了的
    • 使用 fast BVH construction methods（质量？）

建立 BVH

  • 自顶向下建立 BVH 的伪代码如下

求交

  • 一般来说有两种需求
    • 求出交点：radiance ray
    • 判断某一个点是否被遮挡：occlusion ray
      • occlusion test
  • 使用栈来保存可能有交点的树节点
  • 光线和父节点不相交，那么一定和子节点不相交
  • 记录当前已经求出来的最近节点位置，用于剪枝
    • 记录 \(t\)
    • 如果一个包围盒的交点已经比记录的距离远，直接剪枝
    • 这个位置必须是和几何原体求交得到的距离（不能是包围盒，可能不和几何原体相交）
  • 对于 occlusion test 而言，找到一个交点之后便可以提前停下了（early exit）
  • 伪代码如下

  • 一次求交的过程

3. cost function

  • 对于 BVH 质量的评估，可以使用如下的量表示
    • 光线一次求交的平均操作次数
  • 根节点的代价函数（递归定义）

  • \(\vert N\vert\)：以当前节点为根节点的子树包含的几何原体数目
  • \(P(N_c\vert N)\)：光线和父节点相交的前提下，子结点 \(N_c\) 和光线相交的概率
  • \(c_{T}\)：和一个 bvh 节点求交的平均代价
  • \(c_I\)：和一个几何原体求交的平均代价
  • \(c_I,c_T\) 通常是粗略的估计，而不是汇编级的精确值指令数目
    • 实际操作很有用
    • \(c_T\) 代价很大 \(\Longrightarrow\) 使用更大的 \(k\)（更多分叉，更小深度）

SAH

  • Surface Area Heuristic
  • 将上面的条件概率转化为几何概率（可计算）

\[ P(N_c\vert N)^{SAH}=\dfrac{SA(N_c)}{SA(N)} \]

  • \(SA(\cdot)\) 表示 bvh 节点的表面积

  • \(N_i\)：以当前节点为根节点的子树的内部节点数目
  • \(N_l\)：以当前节点为根节点的子树的叶子节点数目
  • SAH 的假设（理想的假设，unrealistic）
    • 光线的起点在场景包围盒外部均匀分布
    • 光线的方向均匀分布
    • 光线不会被遮挡

RDH

  • ray distribution heuristics
  • 对 SAH 不现实的假设的修正，考虑实际光线的分布

\[ P(N_c\vert N)^{RDH}=\dfrac{R(N_c)}{R(N)} \]

  • \(R(\cdot)\)：击中 bvh 节点的光线数目
  • 最早是在 KD-tree 中提出的

OH

  • occlusion heuristic
  • 在高遮挡条件下，能过够有一个更好的性能

\[ P(N_c\vert N)^{OH}=\dfrac{OC(N_c)}{OC(N)} \]

  • \(O(\cdot)\)：以当前节点为根节点的子树包含的可见的几何原体的数目
    • \(O(N)\) is the number of visible scene primitives in a subtree with root \(N\).
  • 这种方法试图将可见的原体和不可见的原体分在不同的 bvh 中
    • 如果一个 bvh 中只有（不）可见的原体，则使用 SAH 构建
    • 细节见论文
  • 单独使用 RDH/OH 可能为导致不稳定
    • 由于欠采样、过采样导致的
    • 论文中采用和 SAH 进行混合的方法

光源在内部

  • 考虑光源在场景包围盒内部
    • 例如发反射光的起点便是在内部
  • 论文假设：Ray origins are uniformly distributed in space inside S

  • \(V(\cdot)\)：包围盒的体积
  • \(\alpha_{\mathrm{x}}\)：对于 \(S\backslash N\) 内部的点 \(\mathrm{x}\)，bvh 节点 \(N\) 所占的立体角

  • 公式解释
    • 对于光源起点在 \(N\) 内部的光线
    • 对于光源起点 \(\mathrm{x}\) 在 \(N\) 外部的光线，可见性的比例就是 \(\alpha_{\mathrm{x}}\)
      • 我们假设方向也是均匀分布的

EPO

  • end-point overlap heuristic
  • 动机：几乎大部分光线都是起源于场景中的某个原体
    • 多 bounce 情况下的散射
  • 如果光源的起点处在多个分支的包围盒中，那么我们需要全部遍历他们
    • If a ray origin (or hit point) is inside multiple branches, we have to visit all of them.
  • 惩罚这样的表面，他的位置处于某个 bvh 节点中，但是它本身没有被划分在这个节点中
  • 假设三角形可以被拆分（被划分到两个 bvh 中的时候拆分为多个）
  • 理想情况下，我们期望没有重叠发生
    • 例如一棵所有三角形都被拆分到叶结点的八叉树（octree）

  • \(S\)：场景中所有几何原体的集合
  • \(S_{N}=N\cap S\)：在 bvh 节点 N 内部的原体
  • 分解惩罚
    • \(S^{\ast}_{N}\)：位置在当前 bvh 节点内部，而且属于当前节点的原体
    • \(S_{N}\backslash S^{\ast}_{N}\)：位置在当前 bvh 节点内部，但是不属于当前节点的原体

  • 实现的时候和 SAH 进行混合
  • 如何将其直接用于 bvh 的构建，这个不是很直观