GAMES103.王华民.07.Other Constrained Methods and Finite Element Method I(2)
有限元方法
- 方法
- The linear finite element method (FEM)
- The finite volume method (FVM)
- Hyperelastic models
- 对于 linear element（三角形、四面体），FEM、FVM 是一样的
FEM
- 这里的例子都是 2D 的
- Linear Finite Element Method
- 线性有限元：对于一个三角形，假定内部的形变是均匀的
- 对于内部形变，可以使用一个统一的公式描述
\[ \mathbf{x}=\mathbf{F}\mathbf{X}+\mathbf{c} \]
- 对于
- \(\mathbf{F}\)：表示形变和旋转
- 形变梯度：\(\mathbf{F}=\partial{\mathbf{x}}/\partial{\mathbf{X}}\)
- \(\mathbf{c}\)：表示平移
形变梯度
求解
- 如何求 \(\mathbf{F}\)？
- 对于一条边（两个点），我们有如下结论
- 通过两条边联立方程组求解
- \(\mathbf{F}\) 中还含有旋转成分，如何去掉旋转成分？
分析
- 形变过程：\(\mathbf{F}=\mathbf{U}\mathbf{D}\mathbf{V}^{\textbf{T}}\)
- 只有 \(\mathbf{D}\mathbf{V}^{\textbf{T}}\)
这两个分量和形变相关
- \(\mathbf{D}\)：形变
- \(\mathbf{V}^{\textbf{T}}\)：朝着哪个方向形变
- 去掉和形变不相关的成分 \(\mathbf{U}\)？
- SVD 分解之后去除：麻烦、计算量大
- 我们发现
\[ \mathbf{F}^{\textbf{T}}\mathbf{F} =\mathbf{V}\mathbf{D}\mathbf{U}^{\textbf{T}}\mathbf{U}\mathbf{D}\mathbf{V}^{\textbf{T}} =\mathbf{V}\mathbf{D}^2\mathbf{V}^{\textbf{T}} \]
- 定义 Green Strain
Green Strain
- strain：描述形变的一个量
- 在没有形变的时候为 0
- 大小和形变的大小正相关
- \(\mathbf{G}\)
是旋转无关的
- 加上一个旋转变换 \(\mathbf{RF}\)，计算得到的 \(\mathbf{G}\) 还是一样的
- 对称矩阵
能量密度函数
- 利用形变（形变梯度 \(\mathbf{F}\) ），定义能量密度 \(\mathbf{W}(\mathbf{G})\)
- 能量密度：单位面积的能量
- Strain Energy Density Function
- 整个三角形的能量通过积分得到
- 三角形内部的 \(\mathbf{F}\) 相同，于是 \(\mathbf{W}(\mathbf{G})\) 也相同
StVK
- Saint Venant-Kirchhoff Model
- 物理模拟里面实际上用的并不是很多，图形学中用的多（因为简单）
- 求导
- \(\mathbf{S}\)：和力相关
- 问题：如果四面体反转了，没有办法翻回来
求力
- 绿色部分能够算出来（上面的 \(\mathbf{S}\) ）
- 需要求灰色部分
- 从定义出发，推导如下
- a,b,c,d 指代矩阵中的元素
- 上面很复杂！！！
- 但是可以简化成矩阵形式！！！
- 另外一个点的力，可以通过合力为 0 求得
\[ \mathbf{f}_0=-\mathbf{f}_1-\mathbf{f}_2 \]
泛化
- 对于 linear element，推导思路都是一样的
实现
- Volino et al. 2009. A simple approach to nonlinear tensile stiffness for accurate cloth simulation. TOG
- 如果对于四面体：所有东西都变为 3 维
其他
- 没有考虑内部的力
- 力是怎么来的？
- 积分得到的，靠近顶点的一块区域里的积分得到，施加在顶点上
- 衣服的三维模拟，形变梯度是 \(2\times3\) 的矩阵
- 参考状态是二维的，实际状态是三维的
- 目前主流的布料模拟方法
- 弹簧系统 + 隐式积分 + 近似（高分辨率、高质量）
- PBD（低分辨率）