计算方法B.裴玉茹.08.数值微分与积分(4)
- PPT（数值微分与积分方法）
数值微分与积分方法
1. 数值微分
插值多项式
- 思想：利用拉格朗日插值多项式计算函数导数
- 多项式的导数函数依然是多项式
- 计算简单
- 截断误差构成导数计算的误差
- 方便估计误差
- 多项式的导数函数依然是多项式
- \(n+1\) 点插值多项式
- 求导
前向差分公式
- 利用泰勒展开的多项式进行近似，忽略高阶项（截断误差）
\[ f'(x)=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}-\dfrac{h}{2}f''(c),\quad c\in[x,x+h] \]
- 截断误差：\(\dfrac{h}{2}f''(c)\)
- 舍入误差：\(\dfrac{2\epsilon}{h}\)
三点公式
- 二阶拉格朗日多项式
等间距取点
\[ x_2=x_1+h=x_0+2h \]
- \(x_j=x_0\)
- \(x_j=x_1\)（三点中心差分）
- \(x_j=x_2\)
舍入误差与截断误差
- 步长设置
五点公式
- 可以利用三点公式外推得到
- 也可以利用泰勒展开得到
- 泰勒展开
- 先消去偶数次高阶导
- 再消去 3 阶导（\(h\to2h\)）
- 五点公式
高阶导数计算
- 泰勒展开
\[ f''(x)=\dfrac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}-\dfrac{h^2}{12}f^{(4)}(c),\quad c\in[c-h,c+h] \]
Richardson 外推
- （理查德森）外推
- 使用低阶公式生成高阶公式
- 思路：消去误差最低阶的项
- 可以进一步外推
2. 数值积分
- 思路与之前一致
- 利用拉格朗日插值多项式计算函数积分
- 多项式的积分函数依然是多项式
- 多项式截断误差构成积分计算的截断误差
- 利用拉格朗日插值多项式计算函数积分
梯形法则
- 一阶多项式插值
Simpson 法则
- 二阶多项式插值
Newton-Cotes 系数
- 就是从拉格朗日插值多项式推导
代数精度
- 闭合牛顿-科特斯的代数精度定理
复合数值积分
- 复合梯形、复合辛普森
复合梯形
- 舍入误差：\((b-a)\epsilon\)
复合辛普森
- 舍入误差：\((b-a)\epsilon\)
复合中点
- 舍入误差：\((b-a)\epsilon\)
3. Romberg 积分
- 龙贝格积分
- 复合梯形法则 + 理查德森外推
4. 自适应积分
- 动态步长
5. 高斯积分
- 将均匀的节点放置修改为勒让德多项式的根的位置
- 代数精度：\(2n-1\)
- 待定系数法找到节点放置位置
勒让德多项式定理
证明
- 分类：\(p(x)\) 阶数
- \(\deg(p)<n\)
- 插值，直接成立，代入相等
- \(n\le\deg(p)\le2n\)
- 长除法
\[ p(x)=Q(x)P_n(x)+R(x) \]
\[ \int_{-1}^{1}p(x)\mathrm{d}x=\int_{-1}^{1}R(x)\mathrm{d}x=\sum_{i=1}^{n}c_iR(x_i)=\sum_{i=1}^{n}c_ip(x_i) \]
区间变换
- \([a,b]\to[-1,1]\)