计算方法B.裴玉茹.08.数值微分与积分(3)

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龙贝格积分、自适应积分、高斯积分
  • 数值分析课本第 5 章（数值微分与积分） + PPT（数值微分与积分方法）

数值微分与积分方法

3. 龙贝格积分

  • 为了提高求定积分的精度，我们可以通过添加数据进行扩展
  • 龙贝格积分是对复合梯形法则应用外推的结果
    • 理查德森外推
  • 梯形法则的特殊性，误差没有奇数阶的导数，一次利用外推能够提高两阶精度
    • 抵消了
  • 梯形法则误差

\[ \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x =\dfrac{h}{2}\left(y_0+y_m+2\sum_{i=1}^{m-1}y_{i}\right)+c_2h^2+c_4h^4+\cdots\\ \]

描述

  • 需要近似的积分：\(M=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\)
  • 近似公式 \(R_{j,1}\) 表示使用步长为 \(h_j\) 的复合梯形法则，\(h_j\) 定义如下

\[ h_j=\dfrac{b-a}{2^{j-1}} \]

梯形法则

  • 给出复合梯形法则的递推形式
  • 原始梯形法则

\[ R_{1,1}=\dfrac{h_1}{2}(f(a)+f(b)) \]

  • 区间分为等长两段，使用复合梯形法则

\[ \begin{aligned} R_{2,1} &=\dfrac{h_2}{2}\left(f(a)+f(b)+2f(\dfrac{a+b}{2})\right)\\ &=\dfrac{1}{2}R_{1,1}+h_2f(\dfrac{a+b}{2}) \end{aligned} \]

  • 归纳证明

\[ R_{j,1}=\dfrac{1}{2}R_{j-1,1}+h_j\sum_{i=1}^{2^{j-2}}f(a+(2i-1)h_j) \]

证明

  • 将两个小区间合并为一个大区间

\[ \begin{aligned} R_{j+1,1} &=\dfrac{1}{2}h_{j+1}\sum_{i=1}^{2^{j}}\left(f(a+(i-1)h_{j+1})+f(a+ih_{j+1})\right)\\ &=\dfrac{1}{4}h_{j}\left( \sum_{i=1}^{2^{j-1}}\left(f(a+2(i-1)h_{j+1})+f(a+2ih_{j+1})+2f(a+(2i-1)h_{j+1})\right) \right)\\ &=\dfrac{1}{4}h_{j}\left( \sum_{i=1}^{2^{j-1}}\left(f(a+(i-1)h_{j})+f(a+ih_{j})+2f(a+(2i-1)h_{j+1})\right) \right)\\ &=\dfrac{1}{2}R_{j,1} +\dfrac{1}{4}h_{j}\left( \sum_{i=1}^{2^{j-1}}\left(2f(a+(2i-1)h_{j+1})\right) \right)\\ &=\dfrac{1}{2}R_{j,1} +h_{j+1}\left( \sum_{i=1}^{2^{j-1}}\left(f(a+(2i-1)h_{j+1})\right) \right)\\ \end{aligned} \]

外推

  • 第 2 列是第 1 列的外推
  • 第 3 列是第 2 列的外推
  • \(R_{i,j}\) 是对 \(R_{i-1,j-1}\) 外推的结果

  • 根据理查德森外推的形式

\[ Q\approx\dfrac{2^{n}F(h/2)-F(h)}{2^n-1}\\ \]

  • 梯形法则精度是 1，是 2 阶近似

\[ R_{2,2}=\dfrac{2^2R_{2,1}-R_{1,1}}{2^2-1}=\dfrac{4^1R_{2,1}-R_{1,1}}{4^1-1} \]

\[ R_{3,3}=\dfrac{2^4R_{3,2}-R_{2,2}}{2^4-1}=\dfrac{4^2R_{2,1}-R_{1,1}}{4^2-1}\\ \]

  • 一般化

\[ R_{j,k}=\dfrac{4^{k-1}R_{j,k-1}-R_{j-1,k-1}}{4^{k-1}-1} \]

  • 外推结果 \(R_{j,2}\) 是辛普森法则
    • 精度为 3，是 4 阶近似
    • 可以看看 \(R_{2,2}\) 既是辛普森法则，也是 \(R_{1,1}\) 外推的结果
  • 最佳近似 \(R_{j,j}\)
    • 何时停止，\(R_{j,j}\) 和 \(R_{j-1,j-1}\) 的差距小于指定值

算法

4. 自适应积分

  • 固定步长的问题
    • 小步长对应更小的截断误差，对于给定容差我们可以通过误差公式确定步长 \(h\)
      • 但是公式中可能包含高阶导数，高阶导数可能无法计算，导致无法确定步长
    • 函数变化有的地方很缓，不需要很高的精度，有些地方变化陡，需要较高的精度
      • 不同地方精度需求不一致
  • 自适应步长

思路

  • 我们对当前区间使用梯形法则近似，然后进一步缩短步长，使用两个梯形近似
  • 计算这两次计算的误差之差，判断是否可以接受
  • 如果可以接受，则结束；如果不能接受，则进一步细分

推导

  • 3倍标准

  • 定理 5.1：加权中值

算法

高阶自适应积分

  • 辛普森法则替换梯形法则
  • 15 倍误差

5. 高斯积分

  • \(n\) 阶的牛顿-科特斯公式的精度为 \(n\)（\(n\) 为奇数）和 \(n+1\)（\(n\) 为偶数）
    • 但是这是均匀分布节点的情况下
  • 调整节点的位置，用于提高精度
  • 高斯积分精度：\(2n+1\)

正交多项式

  • \(\int_{a}^{b}p_{i}(x)p_{j}(x)\mathrm{d}x\)

  • 多项式基

    • 正交 \(\to\) 线性无关

  • 多项式正交集合根定理

勒让德多项式

\[ p_i(x)=\dfrac{1}{2^{i}i!}\dfrac{\mathrm{d}^{i}}{\mathrm{d}x^{i}}[(x^{2}-1)^{i}] \]

  • \(p_{i}(x),0\le i\le n\) 在区间 \([-1,1]\) 上正交
  • 证明：暴算

高斯积分

  • 高斯积分把节点放置在勒让德多项式的根的位置上

  • \(L_i(x)\) 是拉格朗日插值多项式

高斯积分的精度

  • \(2n-1\)

证明

  • 高斯积分的函数记作 \(f(x)\)
  • 设 \(P(x)\) 为至多 \(2n-1\) 阶的多项式，那么使用多项式长除法表示

\[ P(x)=S(x)p_n(x)+R(x) \]

  • \(p_n(x)\) 为 \(n\) 阶勒让德多项式，\(S(x)\) 和 \(R(x)\) 均为小于 \(n\) 阶的多项式
  • 设插值点为 \(x_i(1\le i\le n)\)，那么有 \(p_n(x_i)=0\)
  • \(P(x_i)=S(x_i)p_n(x_i)+R(x_i)=R(x_i)\)
  • 因此高斯积分的插值多项式插值了 \(R(x)\)
    • 其实 \(f(x)\) 就是 \(R(x)\)

\[ \int_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x=\int_{-1}^{1}R(x)\mathrm{d}x \]

  • \(S(x)\) 可以表示为 \(n-1\) 阶勒让德多项式集合的线性组合，由正交性

\[ \int_{-1}^{1}S(x)p_n(x)\mathrm{d}x=0 \]

  • 那么

\[ \begin{aligned} \int_{-1}^{1}P(x)\mathrm{d}x &=\int_{-1}^{1}S(x)p_n(x)\mathrm{d}x+\int_{-1}^{1}R(x)\mathrm{d}x\\ &=\int_{-1}^{1}R(x)\mathrm{d}x\\ &=\int_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x \end{aligned} \]

区间变换

  • 一般问题积分区间为 \([a,b]\)，需要变换到 \([-1,1]\)

\[ \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\int_{-1}^{1}f(\dfrac{(b-a)t+b+a}{2})\dfrac{b-a}{2}\mathrm{d}t \]