计算机图形学.李胜.05.投影(2)

OpenGL 中的投影矩阵

• vmath:Frusutm()

$$\left[\begin{array}{cccc}{\displaystyle \frac{2near}{right-left}}& 0& A& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{2near}{top-bottom}}& B& 0\\ 0& 0& C& D\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$$

• 其中 $A,B,C,D$ 含义如下

$$A={\displaystyle \frac{left+right}{right-left}}$$

$$B={\displaystyle \frac{top+bottom}{top-bottom}}$$

$$C=-{\displaystyle \frac{far+near}{far-near}}$$

$$D=-{\displaystyle \frac{2far\cdot near}{far-near}}$$

• 其中 $far,near,top,bottom,left,right$ 表示6个裁剪面
  • 实际的裁剪面
    • $far,near$ 使用的是绝对值
      • 因为一定是负数
    • $-far,-near,top,bottom,left,right$
• 坐标变换：
  • 现实坐标系中的视见体 转化为 OpenGL中的立方体 $[-1,1]$

• 投影中心 $(0,0,0)$
• 投影平面 $z=-near$
• 推导过程中裁剪面使用单词首字母代替

推导一：投影角度

• 投影+规范化

(1) 投影

• 将视见体中的点投影到 $z=-n$ 上
• 以俯视图为例推导坐标关系（$x,z$）

1612082808631

• $z_p=-n$
• $x_p={\displaystyle \frac{n{x}_e}{-z_e}}$
• 利用侧视图可以得到 $y_p={\displaystyle \frac{n{y}_e}{-z_e}}$

(2) 规范化

• $x_p\in [l,r]\to x_n\in [-1,1]$

• $y_p\in [b,t]\to y_n\in [-1,1]$

• 以 $x$ 的推导为例

  • ${\displaystyle \frac{x_p-l}{r-l}}={\displaystyle \frac{x_n-(-1)}{1-(-1)}}$
  • $x_n=2{\displaystyle \frac{x_p-l}{r-l}}-1={\displaystyle \frac{2}{r-l}}{x}_p-{\displaystyle \frac{r+l}{r-l}}={\displaystyle \frac{2n}{-z_e(r-l)}}{x}_e-{\displaystyle \frac{r+l}{r-l}}$
  • $x_n={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2n}{r-l}}{x}_e+{\displaystyle \frac{z_e(r+l)}{r-l}}}{-z_e}}$

• 同理

  • $y_n={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2n}{t-b}}{y}_e+{\displaystyle \frac{z_e(t+b)}{t-b}}}{-z_e}}$

• 写成矩阵的形式

  • 为了计算的方便，我们把分母放到最终的齐次坐标化简中去

  • $w_c=-z_e,x_n={\displaystyle \frac{x_c}{w_c}},y_n={\displaystyle \frac{y_c}{w_c}}$

  • $$\left[\begin{array}{cccc}{\displaystyle \frac{2n}{r-l}}& 0& {\displaystyle \frac{r+l}{r-l}}& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{2n}{t-b}}& {\displaystyle \frac{t+b}{t-b}}& 0\\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_e\\ y_e\\ z_e\\ w_e\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ y_c\\ z_c\\ w_c\end{array}\right]$$

(3) 记录深度信息

$$\left[\begin{array}{cccc}{\displaystyle \frac{2n}{r-l}}& 0& {\displaystyle \frac{r+l}{r-l}}& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{2n}{t-b}}& {\displaystyle \frac{t+b}{t-b}}& 0\\ 0& 0& A& B\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_e\\ y_e\\ z_e\\ w_e\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ y_c\\ z_c\\ w_c\end{array}\right]$$

• 我们可以看到， $z_n$ 并没有被用上，我们可以用来记录深度信息

• $z_n={\displaystyle \frac{z_c}{w_c}}={\displaystyle \frac{A{z}_e+B{w}_e}{w_c}}={\displaystyle \frac{A{z}_e+B}{-z_e}}=-A+{\displaystyle \frac{B}{-z_e}}$

• $z_e\in [-f,-n]\to z_n\in [1,-1]$

  • 深度值越远越大

• $$\{\begin{array}{l}1=-A+{\displaystyle \frac{B}{f}}\\ -1=-A+{\displaystyle \frac{B}{n}}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}A=-{\displaystyle \frac{f+n}{f-n}}\\ B=-{\displaystyle \frac{2nf}{f-n}}\end{array}$$

推导二：变换角度

• 错切+缩放+规范化

(1) 错切

• 错切至关于 z 轴中心对称

1612084162326

• $-x$ 方向：$\tan {\theta }_x={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{l+r}{-n}}$
  • $\Rightarrow +x:\tan {\theta }_x^{\prime }={\displaystyle \frac{l+r}{2n}}$
• $-y$ 方向：$\tan {\theta }_y={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{t+b}{-n}}$
  • $\Rightarrow +y:\tan {\theta }_y^{\prime }={\displaystyle \frac{t+b}{2n}}$

$$M_1=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& {\displaystyle \frac{l+r}{2n}}& 0\\ 0& 1& {\displaystyle \frac{t+b}{2n}}& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

(2) 缩放

• 缩放的结果
  • $x:[l,r]\to [-1,1]$
  • $y:[b,t]\to [-1,1]$
  • $z:[-f,-n]\to [-1,-{\displaystyle \frac{f}{n}}]$
    • 因此，对应着投影平面 $z=-1$ 的是后裁剪面 $z=-f$

$$M_2=\left[\begin{array}{cccc}{\displaystyle \frac{2n}{(r-l)f}}& 0& 0& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{2n}{(t-b)f}}& 0& 0\\ 0& 0& {\displaystyle \frac{1}{f}}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

• 等价于 $M_2^{\prime }$（化成标准齐次坐标是一样的）

$$M_2^{\prime }=\left[\begin{array}{cccc}{\displaystyle \frac{2n}{r-l)f}}& 0& 0& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{2n}{t-b}}& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& f\end{array}\right]$$

• 以上形成的视见体其实是一个棱台
  • 顶点为 $(0,0,0)$ 底面为 $(-1,-1,0),(-1,1,0),(1,1,0),(1,-1,0)$ 的四棱锥被平面 $z=-{\displaystyle \frac{n}{f}}$ 截成的四棱锥

(3) 透视=>平行

• 将透视投影的规范视见体变换为平行投影的规范视见体
  • 将上述四棱锥转换为长方体
  • $x:[-1,1]\to [-1,1]$
  • $y:[-1,1]\to [-1,1]$
  • $z:[-1,-{\displaystyle \frac{f}{n}}]\to [-1,0]$

$$M_3=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& {\displaystyle \frac{1}{1-n_{min}}}& {\displaystyle \frac{n_{min}}{1-n_{min}}}\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$$

• $z_{min}\ge 0$

$$M_3=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& {\displaystyle \frac{f}{f-n}}& {\displaystyle \frac{n}{f-n}}\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$$

• 推导过程和 推导一的投影 相似
  • ${\displaystyle \frac{x_p}{z_p}}={\displaystyle \frac{x_n}{-1}},{\displaystyle \frac{y_p}{z_p}}={\displaystyle \frac{y_n}{-1}}$
  • $x_n={\displaystyle \frac{x_p}{-z_p}},y_n={\displaystyle \frac{y_p}{-z_p}}$
• 得到矩阵如下

$$M_3=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$$

• 将第三行用于记录深度信息

$$M_3=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& A& B\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$$

• $z_n={\displaystyle \frac{A{z}_p+B}{-z_p}}=-A+{\displaystyle \frac{B}{-z_p}}$

  • $$\{\begin{array}{l}-1=-A+{\displaystyle \frac{B}{1}}\\ 0=-A+{\displaystyle \frac{B}{n_{min}}}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}A={\displaystyle \frac{1}{1-n_{min}}}\\ B={\displaystyle \frac{n_{min}}{1-n_{min}}}\end{array}$$

(4) 平移

• $x:[-1,-1]\to [-1,1]$
• $y:[-1,-1]\to [-1,1]$
• $z:[-1,0]\to -[{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}]$

$$M_4=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

(5) 尺缩

• $x:[-1,-1]\to [-1,1]$
• $y:[-1,-1]\to [-1,1]$
• $z:[-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}]\to [-1,1]$

$$M_5=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

(6) 深度变换

• 深度越大 $z$ 越大

$$M_6=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

(7) 结果

• 与上面一致

$$M_6{M}_5{M}_4{M}_3{M}_2^{\prime }{M}_1$$